Waarom je een wereldbol niet zonder vervorming plat krijgt

Een bol kun je niet plat leggen zonder dat het oppervlak ergens wordt uitgerekt, samengedrukt of gescheurd. Carl Friedrich Gauss bewees dit wiskundig, en uit zijn stelling volgt dat je zelfs geen stukje papier om een bal kunt leggen zonder dat het kreukt. Elke platte wereldkaart vervormt daarom iets: de vorm, de oppervlakte, de afstand of de richting. Daarom zien de continenten er op een kaart anders uit dan op een wereldbol.

Een bekend voorbeeld vind je op de gewone mercatorkaart. Groenland lijkt daarop ongeveer even groot als Afrika, terwijl Afrika in werkelijkheid zo’n 14 keer groter is. Een wereldbol heeft deze fout niet, want hij is zelf een bol, en zo zie je erop de continenten in de juiste verhouding, samen met de schuine stand van de aardas.

Waarom een bol niet plat te leggen is

Een plat vel papier kun je tot een buis of een puntzak buigen zonder dat er iets kreukt of scheurt. De afstanden tussen punten op het papier blijven gelijk, het papier buigt alleen. Een bol is echter in alle richtingen tegelijk gekromd. Wil je hem plat uitspreiden, dan moet je het oppervlak op de ene plek uitrekken, op een andere samendrukken of het openknippen.

Cartografen, de makers van kaarten, lossen dit probleem op met een projectie. Een projectie is een wiskundige regel die aan elk punt op de bol een punt in het vlak toekent. Geen enkele regel kan alles tegelijk behouden, dus elke projectie kiest wat ze behoudt en wat ze opoffert. Makers van wereldbollen gaan de andere kant op: ze drukken de kaart op lange, smalle stroken papier die naar de polen toe in een punt uitlopen, en plakken die op de bol. Hoe meer stroken ze gebruiken, hoe minder ze het papier hoeven uit te rekken en te kreuken.

Wat een kaart vervormt: vorm, oppervlakte of afstand

Een platte kaart kan een of meer van deze eigenschappen juist weergeven, maar nooit allemaal tegelijk: richtingen, afstanden, oppervlakten en vormen. Een kaart die de vormen van kleine gebieden behoudt, een zogeheten conforme kaart, kan niet tegelijk de oppervlakten behouden. En een kaart met juiste oppervlakten vervormt op haar beurt de vormen.

Het verschil zie je goed aan vier soorten kaarten die je vaak tegenkomt:

Mercator presenteerde zijn kaart in 1569 en voor zeelieden was ze een grote hulp: een koers die ze als rechte lijn tekenden, konden ze met een kompas aanhouden. De schaal van de kaart neemt echter toe naarmate je verder van de evenaar komt. Boven 70° noorder- of zuiderbreedte is de kaart praktisch onbruikbaar, en op de polen zou de schaal oneindig zijn, daarom toont de kaart ze niet. Groenland heeft een oppervlakte van ongeveer 2,17 miljoen km², Afrika ongeveer 30 miljoen km², en toch zijn ze op de kaart ongeveer even groot.

De Gall-Peterskaart doet het omgekeerde. James Gall beschreef haar in 1855 en Arno Peters maakte haar begin jaren zeventig van de twintigste eeuw populair. De oppervlakten kloppen erop, maar de vormen van de meeste continenten zijn zichtbaar verwrongen. Cartografen tonen vervorming ook met kleine cirkels van gelijke grootte, die ze over het hele oppervlak van de wereldbol verdelen. Op de kaart worden het ellipsen van verschillende grootte en vorm, en waar ze het meest van een cirkel afwijken, is de vervorming het grootst.

Waar je op een wereldbol op let

De wereldbol is de enige wereldkaart zonder vervorming door een projectie. Heb je er een thuis of op school, let dan op deze plekken:

• Schuine stand van de as. De as van een wereldbol staat meestal niet rechtop, maar helt ongeveer 23,4°. Net zo helt de aardas ten opzichte van het vlak waarin de aarde om de zon draait, en juist deze schuine stand zorgt voor de wisseling van de seizoenen.
• Breedtecirkels. De cirkels evenwijdig aan de evenaar worden naar de polen toe kleiner. De keerkringen liggen op 23°26′ noorder- en zuiderbreedte, precies de hellingshoek van de as vanaf de evenaar, en de poolcirkels op 66°33′. Op de mercatorkaart zijn alle breedtecirkels even lang als de evenaar, daarom zijn landen bij de polen uitgerekt.
• Meridianen. De lijnen van pool tot pool komen op een wereldbol samen in één punt. Op de mercatorkaart zijn het evenwijdige verticale lijnen die elkaar nooit raken.
• Groenland en Afrika. Draai de wereldbol zo dat je beide gebieden tegelijk ziet, en vergelijk hun grootte. Kijk daarna naar dezelfde plek op een gewone wereldkaart.

De oudste bewaarde wereldbol, de zogeheten Erdapfel van Martin Behaim, dateert uit 1492. Het principe is sindsdien niet veranderd: een bol met een net van breedtecirkels en meridianen toont de aarde zonder de compromissen die elke platte kaart moet sluiten.

Proef thuis: een sinaasappel in plaats van een wereldbol

Wat Gauss bewees, test je in een paar minuten met één sinaasappel en een stift.

1. Teken met de stift een paar even grote cirkels op de schil: een rond de “evenaar” in het midden van de sinaasappel en een bij het steeltje, dat de “pool” wordt.
2. Pel de sinaasappel zo dat de schil in één stuk blijft.
3. Leg de schil met de binnenkant naar beneden op tafel en probeer hem helemaal plat te drukken.
4. Kijk wat er gebeurd is: de schil wordt vanzelf niet plat, en als je hem aandrukt, scheurt of rekt hij. De cirkels op de plekken waar de schil rekte, veranderen van vorm.

Precies dit probleem lost elke kaart op. Ofwel scheurt ze het oppervlak in stroken, zoals makers van wereldbollen doen, ofwel rekt en verwringt ze het, zoals Mercator bij de polen. De cirkels op de schil werken net als de cirkels waarmee cartografen vervorming tonen.

Waar je op een model van een wereldbol op let

Bouw je zelf een wereldbol, dan heb je alles in handen waarover we het hadden: de bol, de as en het net van lijnen. Wat je model precies nabootst, lees je in de handleiding en zie je op de afbeeldingen. Let tijdens het bouwen op deze plekken:

• De as en hoe die vastzit. Kijk of de as van het model schuin staat en hoe de standaard hem vasthoudt. Toont het model de schuine stand, vergelijk die dan met een loodlijn.
• Het oppervlak van de bol. Kijk waaruit de bol is opgebouwd. Is de kaart verdeeld in delen of stroken, let dan op hoe ze naar de polen smaller worden en waar ze samenkomen.
• Breedtecirkels en meridianen. Heeft het model ze, kijk dan hoe de breedtecirkels kleiner worden en de meridianen samenkomen. Het is hetzelfde beeld als op een echte wereldbol.

Draait een wereldbol met tandwielen stroef of loopt hij vast, dan vind je hoe je de wrijving opspoort in het artikel Mechanisme loopt vast: de wrijving vinden en verhelpen. En als een model met licht niet meer brandt, helpt het artikel Miniatuurhuis brandt niet: batterijen, contacten en kabels.

Deze onderdelen kun je bijvoorbeeld bekijken op het model Houten 3D puzzel - Lichtgevende wereldbol ROKR ST003. Volgens de beschrijving in de winkel heeft het een doorschijnende kaart, een tandwielaandrijving, een houder voor de breedtegraad, een vergrootglas en een warm nachtlampje met Micro-USB-aansluiting. Volgens de gegevens in de winkel is het bedoeld vanaf 14 jaar.

Veelgestelde vragen